В течение почти 2.5 тысячелетий евклидова геометрия является одним из столпов школьной математики. практически в неизменной форме она дошла до нашего времени. Случай этот уникален. почти забыта физика Аристотеля, о математическом анализе Архимеда вспоминают лишь историки математики. Школьная же геометрия базируется на геометрии Евклида. Разница в основном лишь в методике изложения.
Сила традиционной геометрии
- в ее общности, универсальности. Слабость
- в абстрагировании, создающем предпосылки для размытия
основополагающих понятий геометрии, размытия, затрудняющего
их сопоставление с реальными объектами,
явлениями или процессами. До определенного
времени этому обстоятельству не
придавали серьезного значения, однако, когда наступила пора
подвергнуть геометрию критическому переосмысливанию,
высветилась эта слабая
сторона геометрии. Возникла парадоксальная ситуация: самая
точная и, по-видимому, самая наглядная наука - геометрия -
базируется на понятиях, не поддающихся точным определениям. Чтобы
оправдать такое сильное утверждение, полезно напомнить некоторые "школьные"
истины.
Учитель, начиная обучение геометрии,
произносит слова: "Точка - объект, лишенный протяженности,
линия - объект, характеризуемый длиной, но лишенный
ширины" - и затем иллюстрирует эти определения,
отмечая мелом на доске точку и проводя линию. Однако, размеры такой
точки ~ 1 мм, ширина
линии также ~ 1 мм - символ точечности? Это утверждение
в значительной степени базируется на авторитете учителя.
Те же трудности возникают при попытках
эмпирически воспроизвести другое основное понятие
геометрии - прямую линию. Обычно полагают, что эталоном
прямой является луч света, распространяющийся в пустом
пространстве. Однако в соответствии с основными
принципами оптики и квантовой механики ширина пучка света
по порядку величины равна длине волны LAM, а это значение невозможно свести
к нулю.
Но главная проблема, пожалуй, не в конечности
величины LAM. Положение о прямолинейности распространения
света в пустоте (даже в пренебрежении значением LAM) само является
лишь постулатом, требующим независимого доказательства.
В нашем распоряжении нет априорно идеальной линейки, которая
позволила бы проверить прямолинейность
распространения
светового луча. Следовательно, это утверждение имеет
лишь полуинтуитивное обоснование, основанное на том эмпирическом
факте, что в нашем распоряжении
нет других методов, позволивших прочертить абсолютно
прямую линию между двумя точками. Однако даже это свойство
света не гарантирует его
прямолинейность. Допустим, что пространство
имеет форму сферы. Кратчайшее расстояние на сфере
- отрезок большого круга, отнюдь не тождественный прямой. Поэтому
утверждение: световой луч прочерчивает прямую эквивалентно
тезису: наше пространство плоское, евклидово. А этот тезис сам нуждается
в эмпирическом образовании.
В 1829 г. Н.И.Лобачевский опубликовал статью "О началах геометрии".
В этой статье, так же как и в письмо молодого венгерского
математика Я.Больяи, переданном К.Гауссу,
утверждалось, что возможно построение
непротиворечивой геометрии, не содержащей известный пятый постулат евклидовой
геометрии. Этот постулат, гласящий, что через точку, лежащую вне данной
прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной,
казался наиболее уязвимым (или наименее очевидным) априорным
требованием евклидовой геометрии. Однако попытки
вывести его из других аксиом оканчивались
всегда неудачей. Поэтому был выбран другой путь - построение геометрии,
основанной на всех аксиомах и постулатах Евклида, но в которой
был заменен пятый постулат о параллельных: через
одну точку можно провести либо бесконечное множество прямых,
параллельных данной, либо ни одной.
Для иллюстрации идеи неевклидовости
пространства полезно привести достаточно
простой пример. Пусть пространством является поверхность
обычной двумерной сферы. Отвлечемся прежде всего
от привычного образа сферы, вложенной в видимое
трехмерное пространство, полагая сферу самостоятельным автономным
объектом. Будем полагать, что "прямые" в таком
сферическом пространстве - кратчайшие расстояния между
двумя заданными точками на сфере, т.е. дуги большого круга.
Положим, что бесконечным прямым
в евклидовом пространстве соответствуют окружности на сфере.
Здесь правильно будет говорить именно о соответствии, а не о тождестве,
поскольку окружность на сфере обладает лишь одним свойством евклидовой
прямой - отсутствием границ, но не обладает другим
ее свойством - бесконечной протяженностью. Окружность на
сфере безгранична, но конечна. Нетрудно,
далее, убедиться, что через любую
точку сферы, не находящуюся на данном большом круге,
нельзя провести большой круг, не пересекающий данный,
т.е. "параллельную". Иначе говоря, все "прямые" пересекаются. Отметим также
и другую важную особенность сферической геометрии. Если вырезать
из сферы достаточно малую площадку, то геометрия будет имитироваться
геометрией Евклида.
Cуществует естественный (хотя и сложный) класс геометрий, в рамках которого реализуется эмпирическая основа физики - динамики. Чтобы иллюстрировать предопределенность геометрии эмпирическим наблюдениями, мы рассмотрим простейший пример.
Допустим вначале, что распространение
света или
радиоволн в межпланетной и межзвездной средах соответствует
прямой в смысле евклидовой геометрии. Параметры межпланетной
и межзвездной сред известны, и можно
показать, что они
практически не влияют на направление распространения света
или радиоволн достаточно высокой частоты. Тогда различными
методами можно весьма точно измерять расстояния до солнца,
планет или многих звезд в Галактике. Определяя затем
угол
между направлениями от Земли до двух космических
объектов
(например, Солнца и одной из планет), можно вычислить сумму
углов треугольника, образованного Землей и
этими двумя
объектами. И всегда, независимо от природы объектов, сумма
углов оказывается в пределах небольших экспериментальных
ошибок равной PI.` Таким образом, можно было
бы сделать
вывод, что по крайней мере в пределах Галактики ее геометрия
- евклидова. Этот вывод правилен, но
с одной оговоркой,
которую может использовать верный последователь Пуанкаре. В
этих рассуждениях допускалось,
что направление
распространения фотонов в пустоте совпадает с прямой линией.
На чем основано это утверждение? Может быть, фотоны движутся
по кривой, а само пространство также кривое и обе кривизны
взаимно компенсируют друг друга, так
что в результате
получается мнимое доказательство
торжества евклидовой
геометрии?
Ответ на это возражение
базируется на анализе
совокупности физических фактов.
Так, было проделано
множество опытов по определению
параллаксов различных
космических объектов, расположенных на различных расстояниях
от Земли. Всегда сумма углов оказывалась равной PI.
Таким образом, весь
исключительно богатый набор экспериментальных фактов
согласуется с допущением: в интервале
расстояний 10**-16 - 10**28 см
физическая геометрия близка или тождественна
евклидовой геометрии трехмерного пространства. Нам
представляется этот факт
доказательством единственности геометрии в этом интервале
расстояний. Однако с точки зрения чистой
логики нельзя отвергнуть и другой тезис: нет доказательств,
что нельзя построить всю физику на
основе геометрии, существенно отличной от
трехмерной евклидовой. Да, действительно
строгого логического доказательства такого утверждения нет. Однако
пока не сделаны хотя бы попытки построить физики в
существенно измененном пространстве, все
утверждения о произволе геометрии имеют абстрактный,
а не физический характер.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Аналитическая геометрия сводит понятие точки к набору
чисел - координат. Координаты - расстояния
до некоторой системы линий, называемых осями
координат. Простейший способ системы координат - набор взаимно
ортогональных осей - система декартовых координат Полезно
перечислить крупнейшие достижения аналитической геометрии.
Существенно уточнено понятие точки (набор чисел). Появилась возможность
оперировать с пространствами
любой целочисленной размерности. В пространстве
N измерений точку определяют N чисел. Значение этого достижения
аналитической геометрии в полной мере начали осознаваться сравнительно
недавно. Лишь основываясь на ее методах (или модификациях этих
методов),
можно анализировать многомерные
пространства, которые казались математической экзотикой,
а сейчас приобрели большую актуальность. Евклидово
пространство можно определить
как
бесконечное, изотропное и однородное пространство. Любые две его
точки полностью эквивалентны. Поместим в любой точке
пространства три
источника световых
лучей, распространяющихся во взаимно перпендикулярных направлениях. Эти
лучи образуют координатные оси Ox, Oy, Oz. Перенесем
источники света вдоль одной из осей, например оси z. Новые
оси O'x', O'y' будут параллельны Ox
и Oy. Длины осей бесконечны, поэтому перенесение
источников из точки O в точку O' не изменит
геометрическую ситуацию. Аналогичное рассуждение можно
провести и вращая одновременно все
источники в точке на один и тот
же угол. Неизменность свойств пространства при перемещениях
и вращении отражает основные свойства евклидова пространства
- однородность и изотропию. При указанных выше операциях сохранят
свою форму и основные уравнения кривых.
ГЕОМЕТРИЯ В ЦЕЛОМ И ГЕОМЕТРИЯ В МАЛОМ
Наши привычные представления о
геометрических фигурах основаны на образе, вписанном,
вложенном в евклидово пространство. Да
и сама евклидова геометрия широко использует
образы объемов или поверхностей, вложенных в евклидово
пространство. Для общего представления о фигурах
подобная картина вполне достаточна. Однако такие
образные представления являются в некотором
смысле атавизмом, оставшимся в наследие
от убеждения в единственности евклидовой геометрии,
понимаемой как ветвь математики. Как только сформировались идеи
неевклидовой геометрии, возникла
необходимость описания поверхностей-пространств
любой размерности независимо от фона
- пространства, куда вкладываются эти поверхности-пространства.
Последние в такой постановке задачи выступают, как носители
самостоятельной автономной геометрии, не связанные
с осями координат,
вписанными в глобальное евклидово пространство-фон.
Отметим, что в малом участке можно определить евклидову
систему отсчета. В малом для гладких поверхностей имеет
смысл понятие вектора и векторного произведения,
инвариантного относительно
трансляций и поворотов в пределах малого
участка. Но в отличие от евклидова пространства,
в котором существует глобальная система
координат, обладающая подобными свойствами,
в общем случае существование евклидовой системы возможно лишь
в малом. По существу это утверждение имеет
простой наглядный (геометрический)
смысл. Гладкую поверхность можно аппроксимировать
бесконечным набором примыкающих малых
плоскостей, расположенных друг относительно
друга под определенными углами.
РАССЛОЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Уже упоминалось ранее, что точка иногда определяется
как геометрический объект, не имеющий протяженности. Поэтому напрашивался
вывод, что точка в таком понимании не имеет структуры.
Однако критический анализ основных понятий
геометрии, а также внутренние, имманентные законы развития
дифференциальной геометрии стимулировали создание и развитие нового
математического образа - расслоенного пространства.
Начнем с представления основных
образов (картин) расслоенных пространств.
Первый связан с обобщением
понятия точки. Точка в расслоенном
пространстве эквивалентна автономному
пространству. Иначе говоря, можно наглядно представить, что точка
в расслоенном пространстве эквивалентна точке в смысле Евклида
(объект, лишенный протяжения),
к которой
"прикреплено" (или лучше: которой
соответствует) свое пространство. Можно представить расслоенное
пространство в целом. Оно представляет совокупность
большого числа (как правило, бесконечного множества)
пространств, из которых одно, называемое базой, играет
особую роль. Каждая точка
этого пространства взаимно однозначно связана
со своим пространством, называемым слоем над базой.
Каждой точке в базе соответствует свое пространство
(слой), отражающий структуру точки.
Второй пример расслоенного пространства не поддается
такой наглядной интерпретации. Каждый его элемент - сфера с точкой
базы в центре. Однако совокупное
расслоенное пространство имеет пять измерений. Представление о нем как
о множестве сфер, расположенных в трехмерном пространстве,
неправильно. Слои-сферы находятся
в дополнительных измерениях, и поэтому расслоенное
пространство в целом нельзя изобразить адекватно на бумажном
листе.
Чтобы определить связность в слоях, введем расстояние
от начала слоя (отрезка), которое является, вообще говоря,
произвольной точкой отсчета. Важно лишь, чтобы во всех слоях были бы одинаковые
точки отсчета. Иначе говоря, любой круг, пересекающий слои и параллельный
основанию полусферы, мог бы определить точки отсчета.
Естественно (но не необходимо) отождествить точки отсчета
с точками круга - базы. Будем
далее измерять угол между векторами во время параллельного
переноса в произвольных единицах (например,
радианах) и откладывать этот угол на прямых - слоях
пространства. В результате операции полный обход периметра
треугольника на сфере будет соответствовать некоторому
подъему величины
проекции в слое. Этот подъем определяется смещением векторов в полусфере
при возвращении в точку, совпадающую с началом вектора a после
полного обхода контура.
Расслоение полусферы на круг и линейное пространство - одно
из простейших расслоений, позволяющих дать наглядную интерпретацию
связности расслоенного пространства. В общем случае подобная
наглядность утрачивается. Идея введения общего
определения связности близка к основной
идее
дифференциальной геометрии: в малом
объеме метрика пространства евклидова или псевдоевклидова.
В расслоенных пространствах также постулируется простота
пространства в малом. Полагается, что в малом
расслоенное пространство можно представить простым
произведением, частным случае
которого и было расслоение полусферы.
В результате обхода микроконтура в полном пространстве или базе определяется компонента связности в базе. Далее в соответствии с приведенным выше примером операция обхода микроконтура количественно отображается в пространстве слоев, определяя таким образом связность в этом пространстве.
В заключение сделаем одно замечание, имеющее, как мы увидим далее, прямое отношение к физике (динамике). Хотя значение связности определяется однозначно, однако операция ее вычисления неоднозначна.
Перейти на Часть 2. Динамика
Содержание
|
